Karmaşık (Kompleks) Sayılar

reel sayılar kümesini göstermek üzere, ={(x,y) : x,yє} sıralı ikililerinin kümesini göz önüne alalım. Bu küme üzerinde sırasıyla eşitlik, toplama ve çarpma isimli işlemler adlandıralım:

( i ) (x1,y1) = (x2,y2) <=> x1 = x2 , y1 = y2

( ii ) (x1,y1) + (x2,y2) = ( x1 + x2 , y1 + y2 )

( iii ) (x1,y1) . (x2,y2) = ( x1x2 - y1y2 ,  x1y2 + y1x2)

Üzerindeki bu işlemlerle birlikte düşünüldüğünde, kümesine karmaşık sayılar kümesi adı verilir. kümesinin herhangi bir öğesi z = (x,y) biçiminde gösterilir ve karmaşık sayı (kompleks sayı) diye adlandırılır. Bir karmaşık z = (x,y) sayısı verildiğinde,     x = Re(z) sayısına karmaşık sayının gerçel (reel) kısmı, y = Im(z) sayısına ise karmaşık sayının sanal (imajinal) kısmı adı verilir.

Bu tanımdan açıktır ki Reel düzlem üzerindeki herhangi bir nokta ayrıca bir karmaşık sayı belirtir.

Ayrıca  olmak üzere, herhangi bir z = (x,y) sayısını z = x + iy şeklinde yazmak mümkündür.

Buna göre bir karmaşık sayının eşleniği tanımlamak gerekirse: z = x + iy sayısının eşleniğine x - iy sayısı denir ve ile gösterilir.